APPROCCIO AGLI SPOSTAMENTI

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Scritto da Ing. Marco Dalla Via

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Approccio agli spostamenti

Le fasi dell’approccio agli spostamenti

Con la massima generalità si riassume, nel seguito, la sequenza logica di operazioni che costituisce la procedura di calcolo agli elementi finiti secondo l’approccio agli spostamenti:

1. Definizione dello schema discreto. In generale, una struttura non si presenta naturalmente come assemblaggio di costituenti elementari. Occorre quindi operare unasuddivisione in elementi finiti, tra loro connessi in alcuni punti, o nodi. Questa suddivisione definisce lo schema oggetto del calcolo. Ad essa è associata la definizione di un modello di spostamento per ogni elemento. Gli spostamenti locali vengono approssimati da combinazioni lineari di funzioni assegnate, di regola polinomi. Le due operazioni non sono tra loro indipendenti: è infatti evidente come una suddivisione più rada suggerisca di utilizzare un modello più ricco rispetto a quello utilizzato con una suddivisione fitta. È questa la fase cruciale del procedimento: una volta suddivisa la struttura in elementi finiti e stabilito il modello di spostamento al loro interno, sono completamente determinate le caratteristiche di comportamento dello schema discreto con cui si approssima il problema originario. Le fasi successive riguardano essenzialmente la costruzione delle equazioni e la tecnica risolutiva e intervengono solo marginalmente sulla qualità della soluzione.
2. Definizione delle proprietà dell’elemento. Il modello viene espresso in funzione dei valori assunti dagli spostamenti locali nei nodi. A tali valori (spostamenti nodaliu) corrispondono, tramite un’equivalenza in termini di lavori virtuali, le forze nodali p. Il comportamento dell’elemento isolato è descritto tramite un legame tra queste quantità, cui si risale dalla legge costitutiva del materiale. In questa fase è spesso conveniente operare in riferimenti locali, dettati dalla particolare geometria dei singoli elementi. Le proprietà dell’elemento vengono poi trasferite nel riferimento globale mediante opportune leggi di trasformazione.
3. Assemblaggio. L’operazione ricostruisce la continuità della struttura. I vari elementi vengono tra loro collegati imponendo che gli spostamenti dei nodi che hanno in comune assumano lo stesso valore. Dal momento che questi sono ora tutti rappresentati nello stesso riferimento, risultano direttamente sovrapponibili e l’assemblaggio si riconduce ad una procedura di identificazione, che viene effettuata  automaticamente a partire da poche semplici informazioni. L’assemblaggio comprende l’eliminazione degli spostamenti impediti dai vincoli esterni (o l’imposizione di cedimenti vincolari).
4. Calcolo della soluzione. Ad assemblaggio effettuato, le equazioni risolventi si presentano, nel caso elastico lineare, nella forma P = K∙u, dove la matrice K è simmetrica e, una volta eliminati eventuali moti rigidi residui non impediti dai vincoli, definita positiva. Nel vettore P rientrano tutti gli eventuali carichi esterni imposti e gli stati di coazione iniziali, intesi sia in termini tensionali che deformativi. La soluzione numerica non presenta difficoltà particolari se non per il numero delle incognite, spesso elevato. Accorgimenti specifici, che sfruttano proprietà del tutto generali della matrice di rigidezza, consentono tuttavia di risolvere efficacemente sistemi di dimensioni anche molto grandi. La soluzione va in genere completata fino alla definizione dello stato di sforzo. Come in tutte le formulazioni basate su modelli cinematici, l’informazione sul regime tensionale è prodotta in termini di sforzi generalizzati, in generale definiti in modo puramente formale e di difficile interpretazione diretta. La loro conoscenza è quindi poco utile ai fini della ricostruzione di un quadro tensionale ingegneristicamente significativo. Si preferisce calcolare direttamente gli sforzi locali imponendo il legame costitutivo del materiale con riferimento alle deformazioni, note in ogni punto della struttura una volta valutati gli spostamenti nodali. Concettualmente il procedimento è spontaneo; va tenuto però presente che gli sforzi sono proporzionali a derivate degli spostamenti e sono affetti quindi dal deterioramento di precisione che la derivazione comporta. Si riscontrano spesso errori anche notevoli sugli andamenti locali, che rendono necessari interventi correttivi. Questi vengono comunque effettuati a valle della soluzione dello schema discreto, elaborando in modo opportuno le informazioni direttamente prodotte dal metodo.

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